Analytische und FEM Modellierung
Frequenz-analoger Mikrosensoren
Der Artikel gibt einen umfassenden Überblick über die erfolgreiche Entwicklung und erste Prototypisierung von mikromechanischen Silizium-Sensoren mit resonantem Funktionsprinzip. Er behandelt die analytische und Finite-Elemente-Modellierung von resonanten Silizium-Mikrosensoren zur Messung mechanischer Größen, wie Kraft, Druck und Beschleunigung. Weiterhin kann das frequenz-analoge Messprinzip auf andere physikalische Messgrößen ausgedehnt werden, u.a. zur Messung & Detektion von Strömung, Temperatur, Durchfluss und Massen, usw. – im Weiteren “Frequenz-Analoge SENSoren” (FASENS) genannt.
Modellierung resonanter Mikrosensoren
Die Artikel befasst sich mit der Modellierung von resonanten Silizium-Mikrosensoren unter Verwendung analytischer und Finite-Elemente-Methoden (FEM). Diese mathematische Methoden ermöglichen die Simulation des dynamischen Verhaltens auch äußerst komplexer Resonator-Geometrien.
- Resonante Sensoren ändern ihre Ausgangsfrequenz in Abhängigkeit von der zu messenden Größe
- Sie bieten hohe Empfindlichkeit, hohe Auflösung und ein semi-digitales Ausgangssignal
- Die Herstellung erfolgt durch Bulk-Micromachining-Technologien wie anisotropes Naßätzen und Dünnschicht-Abscheidung
Analytische und numerische Methoden
Für einfache Resonator-Geometrien können analytische Methoden verwendet werden, während komplexe Strukturen die Finite-Elemente-Methode erfordern.
- Analytische Modelle sind für ideale Randbedingungen und isotrope Materialeigenschaften geeignet
- Die Finite-Elemente-Methode ist für komplexe Resonatoren mit beliebigen Randbedingungen und anisotropem Materialien besser geeignet
- Beispiele für komplexe Resonatoren sind ‘Butterfly’-Resonatoren und ‘Beam-on-Diaphragm’-Strukturen (BOD)
Aufbau und Funktionsweise von Mikrosensoren
Der allgemeine Aufbau eines piezoelektrisch betriebenen resonanten Druck- oder Kraft-Sensors wird beschrieben.
- Der mikromechanische Resonator besteht in der Regel aus einer Silizium-Membran oder einem -Balken
- Piezoelektrische Dünnschichten, wie Zinkoxid (ZnO), werden zur Anregung und Detektion der Vibrationen verwendet
- Der mikromechanische Herstellungsprozess umfasst das Strukturieren, Dotieren und Ätzen, um die gewünschte Resonator-Dicke zu erreichen
Dynamisches Verhalten von Balken- und Membran-Resonatoren
Das dynamische Verhalten von doppelt eingespannten Balken und allseitig eingespannten Membranen wird analysiert.
- Die Eigenfrequenzen und Schwingungsformen (Moden) können analytisch berechnet werden
- Für Balken wird eine partielle Differentialgleichung verwendet, die die vertikalen Verschiebungen beschreibt
- Die Resonanz-Frequenzen hängen von der Geometrie und den Materialeigenschaften ab
Einschränkungen analytischer Methoden
Analytische Lösungen sind nur in speziellen Fällen möglich und haben mehrere Einschränkungen.
- Exakte Einspann- & Randbedingungen können oft nicht exakt berücksichtigt werden
- Anisotrope Materialeigenschaften und Mehrschicht-Systeme (sog. Multilayer) sind schwer zu berechnen
- Die Finite-Elemente-Methode bietet mehr Flexibilität und höhere Genauigkeit für komplexe Probleme
Mathematische Grundlagen der Finite-Elemente-Methode
Die mathematischen Grundlagen der Finite-Elemente-Methode (FEM) werden erläutert, einschließlich der Gleichungen für elastische Körper.
- Die physikalische Bewegungsgleichung wird durch Variationsansätze abgeleitet
- Die mathematische Konzept der “schwachen Formulierung” ermöglicht die numerische Lösung komplexer Probleme
- Die Finite-Elemente-Analyse erfordert die Diskretisierung des FE-Modells in endliche (d.h. finite) Elemente
Nutzung von FEM zur Optimierung von Mikrosensoren
Die Verwendung von Finite-Elemente-Methoden ermöglicht eine signifikante Reduzierung der Zeit für Design und Fertigung von Mikrosensoren und bietet Einblicke in deren Betriebsweise. FEM ist besonders nützlich für die Modellierung der dynamischen Verhalten von resonanten Sensoren und zur Vorhersage ihrer Leistungsfähigkeit unter realen Betriebsbedingungen in der Praxis.
- FEM ermöglicht die Analyse von Resonanz-Frequenzen und Schwingungsmoden von Mikrosensoren
- Die Modellierung hilft bei der Optimierung von Geometrien, z.B. von Einspann- und Entkopplungsregionen
- FEM wird für die Entwicklung von Multilayer-Strukturen wie piezoelektrisch betriebenen Mikrosensoren verwendet
Eigenfrequenzen und Moden von Drucksensoren
Die FEM wurde verwendet, um mit der Modalanalyse die Eigenwerte (Frequenzen) und Moden eines resonanten Drucksensors zu berechnen, der aus einer quadratischen Silizium-Membran besteht. Die Ergebnisse zeigen eine hohe Übereinstimmung zwischen numerischen, analytischen und experimentellen Werten.
- Der Drucksensor hat eine Dicke von 50 µm und eine Seitenlänge von 9,2 mm
- Die Resonanz-Frequenzen der höheren Schwingungsmoden sind um weniger als 4% von den analytischen Ergebnissen abweichend
- Die intrinsische Spannung in der ZnO-Schicht wurde auf etwa -15 MPa geschätzt
Lastabhängige Frequenzänderungen
Die Auslenkung der Membran aufgrund von Druckunterschieden wurde durch nichtlineare Analysen unter Berücksichtigung von Spannungsversteifung und großen Auslenkungen (Verformungen) berechnet. Verschiedene FEM-Modelle wurden hierzu verwendet, um den Einfluss von Materialeigenschaften und Randbedingungen detailliert zu untersuchen.
- Die Resonanzfrequenz des Sensors beträgt 8317 Hz mit einer Druckempfindlichkeit von 12,4 Hz/mbar
- Abweichungen zwischen gemessenen und berechneten Werten liegen zwischen 2-19%
- Die Abweichungen sind auf intrinsische ZnO-Schicht-Spannungen und unbekannte Materialeigenschaften zurückzuführen der gesputterten (PVD) Dünnschichten
Thermisches Verhalten von Mikrosensoren
Temperaturänderungen beeinflussen stark die Eigenschaften von resonanten Mikrosensoren, einschließlich der Resonanzfrequenz und das Knickverhalten. Verschiedene FEM-Modelle wurden verwendet, um die temperaturabhängigen Eigenschaften von resonanten MEMS-Mikrosensoren zu charakterisieren.
- Der kritische Temperaturunterschied, bei dem der Resonator knickt, beträgt etwa 27 K
- Die maximale statische Auslenkung der Membran wurde mit 70-77 µm berechnet
- Temperaturkompensationsmethoden wurden untersucht, um die Temperaturempfindlichkeit zu reduzieren
Piezoelektrische Anregung und Effizienz
Die Effizienz der Umwandlung von elektrischer in mechanische Energie wird durch den effektiven elektromechanischen Kopplungsfaktor (keff) charakterisiert. FEM-Analysen zeigen signifikante Abweichungen zwischen berechneten und gemessenen Werten aufgrund von Restspannungen in der ZnO-Schicht.
- Der maximale keff für ZnO beträgt 0,22, während für PZT-Piezokeramiken 0,38 erreicht wird
- Abweichungen von bis zu 52% zwischen berechneten und gemessenen Werten wurden festgestellt
- Die Optimierung des keff ist durch die Wahl des optimalen Schichtdicken-Verhältnisses möglich
Optimierung von Resonatoren und Moden
Die Optimierung von resonanten Mikrosensoren erfordert Kenntnisse über deren internes Verhalten, was durch FEM-Modelle erreicht wird. Verschiedene geometrische Konfigurationen wurden untersucht, um die Leistung der Sensoren zu verbessern.
- Die Resonanzfrequenzen der ersten drei Schwingungsmoden wurden in Abhängigkeit von der Länge der mechanischen Entkopplungszone analysiert
- Eine gute mechanische Entkopplung kann durch eine Entkopplungszonenlänge von 200-300 µm erreicht werden
- Die Druckempfindlichkeit variiert je nach Seitenlängen und Dicke des Resonators zwischen 0,5 kHz/bar und 11 kHz/bar
Weiterführende Informationen
Analytical and FEM modeling of frequency–analog microsensors
The article provides a comprehensive overview of the successful development and initial prototyping of micromechanical silicon sensors with a resonant operating principle. It deals with the analytical and finite element modeling of resonant silicon microsensors for measuring mechanical quantities such as force, pressure, and acceleration. Furthermore, the frequency-analog measurement principle can be extended to other physical quantities, including flow, temperature, flow rate, and mass sensors, etc. – hereinafter referred to as “frequency-analog sensors” (FASENS).
Modeling of resonant microsensors
This work deals with the modeling of resonant silicon microsensors using analytical and finite element methods (FEM). These methods enable the simulation of the dynamic behavior of complex resonator structures.
- Resonant sensors change their output frequency depending on the quantity to be measured
- They offer high sensitivity, high resolution, and semi-digital outputs
- They are manufactured using bulk micromachining technologies such as anisotropic wet etching and thin-film deposition
Analytical and numerical methods
Analytical methods can be used for simple resonator structures, while complex structures require the finite element method.
- Analytical models are suitable for ideal boundary conditions and isotropic material properties
- The finite element method is more suitable for complex resonators with arbitrary boundary conditions and anisotropic materials
- Examples of complex resonators are “butterfly” resonators and beam-on-diaphragm (BoD) structures.
Structure and function of microsensors
The general structure of a piezoelectrically operated resonant pressure or force microsensor is described.
- The resonant component consists of a silicon membrane or a beam
- Piezoelectric thin films, such as zinc oxide (ZnO), are used to excite and detect the vibrations
- The process involves structuring, doping, and etching to achieve the desired resonator thickness.
Dynamic behavior of beam and membrane resonators
The dynamic behavior of double-clamped beams and membrane resonators clamped on all sides is analyzed.
- The vibration frequencies and mode shapes can be calculated analytically
- For beams, a partial differential equation is used to describe the vertical displacements
- The resonance frequencies depend on the geometry and material properties
Limitations of analytical methods
Analytical solutions are only possible in special cases and have several limitations.
- Exact boundary conditions often cannot be taken into account
- Anisotropic material properties and multilayer systems are very difficult to calculate analytically
- The finite element method offers better flexibility and higher accuracy for complex problems
Mathematical fundamentals of the finite element method
The mathematical fundamentals of the finite element method are explained, including the equations for elastic bodies.
- The equation of motion is derived using variational approaches
- The weak formulation enables the numerical solution of complex problems
- Finite element analysis requires the discretization of the model into small (i.e. finite) elements.
Program implementation and nonlinear effects
The implementation of the finite element method in programs is described, including the consideration of nonlinear effects.
- The matrix equation for static analyses is presented
- Geometric nonlinearities and nonlinear stress stiffening must be taken into account
- Dynamic electromechanical coupled analyses use special matrices for the interactions between mechanical and electrical fields
Use of FEM for optimizing microsensors
The use of finite element methods (FEM) enables a significant reduction in the time required for the design and manufacture of microsensors and provides insights into their mode of operation. FEM is particularly useful for modeling the dynamic response of resonant sensors and for predicting their performance under operating conditions.
- FEM enables the analysis of resonance frequencies and modes of microsensors
- Modeling helps optimize geometries, e.g., of clamping and decoupling regions
- FEM is used for the development of multilayer structures such as piezoelectrically operated microsensors
Natural frequencies and modes of pressure sensors
FEM was used to calculate the eigenvalues and modes of a resonant pressure sensor consisting of a square silicon membrane. The results show a high degree of agreement between numerical, analytical, and experimental values.
- The pressure sensor has a thickness of 50 µm and side lengths of 9.2 mm
- The resonance frequencies of the higher vibration modes deviate by less than 4% from the analytical results
- The intrinsic stress in the ZnO layer was estimated to be approximately -15 MPa
Load-dependent frequency changes
The deflection of the membrane due to pressure differences was calculated using nonlinear analyses taking into account stress stiffening and large deformations. Various FEM models were used to investigate the influence of material behavior and boundary conditions.
- The resonance frequency of the sensor is 8317 Hz with a pressure sensitivity of 12.4 Hz/mbar
- Deviations between measured and calculated values are between 2-19%
- The deviations are due to intrinsic stresses and unknown material properties
Thermal behavior of microsensors
Temperature changes strongly influence the properties of resonant microsensors, including the resonance frequency and the possibility of buckling. FEM models were used to characterize the temperature-dependent properties of MEMS resonant sensors.
- The critical temperature difference at which the resonator buckles is approximately 27 K
- The maximum static deflection of the membrane was calculated to be 70-77 µm
- Temperature compensation methods were investigated to reduce temperature sensitivity
Piezoelectric excitation and efficiency
The efficiency of the conversion of electrical energy into mechanical energy is characterized by the effective electromechanical coupling factor (keff). FEM analyses show significant deviations between calculated and measured values due to residual stresses in the ZnO layer.
- The maximum keff for ZnO is 0.22, while 0.38 is achieved for PZT ceramics
- Deviations of up to 52% between calculated and measured values were found
- Optimization of the keff is possible by selecting the optimal thickness ratio
Optimization of resonators and modes
The optimization of resonant microsensors requires knowledge of their internal behavior, which is achieved through FEM models. Various geometric configurations were investigated to improve the performance of the sensors.
- The resonance frequencies of the first three vibration modes were analyzed as a function of the length of the decoupling zone
- Good mechanical decoupling can be achieved with a decoupling zone length of 200-300 µm
- The pressure sensitivity varies between 0.5 kHz/bar and 11 kHz/bar depending on the side lengths and thickness of the membrane
Invited Paper
- Analytical and finite element modeling of resonant silicon microsensors
- Authors: Thomas Fabula, Stephanus Büttgenbach
- Year of publication: 1997, Volume: 9, Number: 8, Pagination: 501-519
Abstract
“This paper is concerned with the modeling of resonant silicon microsensors using analytical as well as finite-element methods. In the case of simple resonator structures, ideal boundary conditions and isotropic material properties, analytical methods can be used to model the dynamic behaviour of resonant microsensors. For more complex resonator structures, arbitrary boundary conditions, anisotropic material properties, multi-layer structures, and in the presence of coupled-field effects, the finite-element method is well suited for simulating the behaviour of resonant microstructures. Beamlike force and diaphragm pressure sensors are used to demonstrate the capability of this method to calculate eigenfrequencies, mode shapes, load-dependent frequency changes and cross-sensitivities as well as to optimize the resonator geometry with respect to mode selectivity, mode decoupling, electromechanical coupling efficiency, and measuring range and sensitivity. The numerical results are compared to experimental data in order to verify the finite-element models.“
Conclusion
To optimize the performance of resonant silicon microsensors, knowledge of their internal behavior is required. Modeling and numerical simulation are necessary to achieve this in a reasonable amount of time. For simple resonator structures with ideal boundary conditions, analytical models can be used to accurately calculate their properties, assuming homogeneous and isotropic material behavior.
For more complex resonator structures, arbitrary boundary conditions, anisotropic and temperature-dependent material properties, and in the presence of coupled field effects, the FEM can be used to simulate the properties of resonant microstructures. Using beam-shaped force and membrane pressure sensors as well as triple-beam and beam-on-diaphragm microstructures, the suitability of this method for calculating natural frequencies, vibration modes, load-dependent frequency changes, and cross-sensitivities, as well as for optimizing the resonator geometry in terms of mode selectivity, mode decoupling, electromechanical coupling efficiency, and measuring range and sensitivity.
These examples clearly show that finite element modeling is an indispensable tool for the development of complex resonant microstructures and for the development of the active multilayer structures used to excite the vibrations.
Patent
GitHub repositories
- github.com/ThomasFabula/Modeling-of-Resonant-Silicon-Microsensors
- github.com/ThomasFabula/Quartz-DETF
- github.com/ThomasFabula/piezoelectric_simulation
- github.com/ThomasFabula/BOD-sensor
- github.com/ThomasFabula/BMFT_FASENS
Further information
- https://www.nature.com/articles/s41378-025-00957-9
- https://www.researchgate.net/publication/231063169_Resonant_silicon_sensors
- https://ieeexplore.ieee.org/document/10785236
- https://link.springer.com/chapter/10.1007/5346_2023_33
- https://mediaspace.gatech.edu/media/Silicon-Based+Resonant+Microsensors+-+Oliver+Brand/1_4cucbjdy
- https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0263224125016343
- https://sensors.myu-group.co.jp/index.php?vol=9&no=8&sub_no=0
- https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/188/1/012042
- https://www.mdpi.com/1424-8220/19/10/2272
- https://www.springerprofessional.de/en/resonant-silicon-microcantilevers-for-particle-and-gas-sensing/26976754
- https://dl.acm.org/doi/abs/10.1007/s00542-016-2824-4
- https://www.vde-verlag.de/proceedings-de/453622002.html
- https://scispace.com/papers/a-high-sensitivity-resonant-differential-pressure-54igtziisw
- https://www.scientific.net/AMR.550-553.3376
- https://patents.google.com/patent/US7013733B2/en
- https://link.springer.com/rwe/10.1007/978-981-10-2798-7_15-1
Video
Testimonial
“Dr. Fabula gave us valuable support in the application-specific optimization of MEMS sensors. I value Dr. Fabula as a competent partner whose initiative, drive and wealth of ideas always excelled in the course of our many years of collaboration.” ~ Dr. Franz Lärmer, Project manager MEMS, Robert Bosch GmbH, Gerlingen-Schillerhöhe