Methode der finiten Elemente

Die Finite-Elemente-Methode (FEM) hat sich in den Ingenieurswissenschaften wegen ihrer universellen Anwendbarkeit auf beliebig geformte Strukturen insbesondere auf dem Gebiet der Elastomechanik gegenüber anderen numerischen Berechnungsverfahren, z.B. der Finite-Differenzen-Methode (FDM) durchgesetzt. Aufgrund der allgemeinen mathematischen Formulierung der FE-Methode auf der Grundlage von Variationsprinzipien lässt sie sich auch zur Lösung von verschiedenen physikalischen Feldproblemen einsetzen.

Neben Problemstellungen der technischen Mechanik werden heute zunehmend auch Wärmefeldprobleme, gekoppelte Feldprobleme (elektromagnetische, piezoelektrische Wechselwirkung) und Probleme der Strömungsmechanik erfolgreich behandelt. Exakte analytische Lösungen partieller Differentialgleichungen, welche die zugrundeliegenden physikalischen Probleme beschreiben, existieren in der Regel nur für einige einfache Sonderfälle. Als universelles numerisches Werkzeug gestattet die FE-Methode, diese Probleme auch bei sehr komplexen Struktur-Geometrien in Verbindung mit vielfältigen Randbedingungen zu berechnen.

Das Konzept der FE-Methode ist mathematisch abgesichert und es existieren effiziente numerische Lösungsalgorithmen sowie verifizierte finite Elemente für verschiedene Problem-Klassen (Schalen-, Platten- und Volumenelemente). Die kommerziell verfügbaren, leistungsfähigen Programmsysteme mit graphisch orientierten Pre- und Postprozessoren, d.h. Werkzeuge für die Modellaufbereitung und Nachbearbeitung der numerischen Ergebnisse, verhelfen der FE-Methode zu einem breiten Einsatz in praktischen Anwendungen.

In diesem Kapitel werden die mathematischen Grundlagen der FE-Methode und die in dieser Arbeit (Promotion) verwendeten numerischen Berechnungsverfahren zur Lösung sowohl linearer, als auch nichtlinearer Randwertprobleme der Mikromechanik behandelt.

Mathematische Grundlagen

Die mathematischen Grundlagen der FE-Methode werden im Folgenden an partiellen Differentialgleichungen (pDGL) vom elliptischen Typ erläutert, insbesondere sollen hierbei ohne Beschränkung der Allgemeinheit skalare Gleichungen zweiter Ordnung betrachtet werden. Die numerische Behandlung von physikalischen Problemstellungen vom elliptischen Typ kann sowohl durch die FD-Methode {Mar89}, als auch durch die FE-Methode erfolgen. Ein wesentlicher Nachteil der Differenzenmethode, bei der die Differentialoperatoren durch Differenzenquotienten ersetzt werden, besteht darin, dass sie bequem und unmittelbar nur auf rechtwinkligen, regelmäßigen Gitter-Diskretisierungen anwendbar ist, so dass nur einfache Struktur-Geometrien betrachtet werden können. Im Gegensatz dazu kann die FE-Methode auf beliebig komplexe Geometrien angewendet werden.

Klassisches Randwertproblem

Zur Veranschaulichung der mathematischen Vorgehensweise, die der FE-Methode zugrunde liegt, soll das kontinuierliche, n-dimensionale (n = 2 bzw. 3), quasi-lineare Randwertproblem betrachtet werden, welches durch die folgende pDGL gegeben ist:

…

Konzept der schwachen Lösung

Im Allgemeinen existiert bei derartigen Problemen keine analytisch geschlossen darstellbare Lösung, so dass das Grundgebiet diskretisiert und die klassische Lösung numerisch approximiert werden muss. Diese Approximation macht Gebrauch vom Konzept der schwachen Lösung. Anstatt der pDGL wird hierzu ein äquivalentes Variationsproblem betrachtet, da die Lösungen phi(x) gewisse Minimalitätseigenschaften aufweisen {Bat82, Zie84}. Nach dem Lax-Milgram-Theorem besitzt das zu dem elliptischen Randwertproblem zugeordnete Variationsproblem eine eindeutige, in diesem Sinne schwache Lösung {Bra91}.

Finite Elemente Diskretisierung

Die Diskretisierung des kontinuierlichen, schwachen Problems kann auf verschiedene Weisen vorgenommen werden, z.B. mit der Finite-Volumen-Methode (FVM) oder der FE-Methode.

… to be continued !

Finite Element Method

The finite element method (FEM) has gained acceptance in engineering sciences over other numerical calculation methods, e.g. the finite difference method (FDM), because of its universal applicability to arbitrarily shaped structures, especially in the field of elastomechanics. Due to the general mathematical formulation of the FE method based on variational principles, it can also be used to solve various physical field problems.

In addition to problems in engineering mechanics, thermal field problems, coupled field problems (electromagnetic, piezoelectric interaction) and problems in fluid mechanics are increasingly being successfully addressed today. Exact analytical solutions of partial differential equations describing the underlying physical problems usually exist only for some straightforward special cases. As a universal numerical tool, the FE method allows to calculate these problems even for very complex geometries of structures in connection with manifold boundary conditions.

The concept of the FE method is mathematically validated and efficient numerical solution algorithms as well as verified finite elements for different problem classes (shell, plate and solid elements) exist. The commercially available, powerful program systems with graphically oriented pre- and post-processors, i.e. tools for model preparation and post-processing of the numerical results, help the FE method to be widely used in practical applications.

In this chapter, the mathematical foundations of the FE method and the numerical computational methods used in this thesis (PhD) to solve both linear and nonlinear boundary value problems in micromechanics are discussed.

Mathematical Basics

The mathematical basics of the FE-method are explained in the following on partial differential equations (PDE) of the elliptic type, in particular scalar equations of second order are to be considered here without restriction of the generality. The numerical treatment of physical problems of the elliptic type can be done by the FD-method {Mar89}, as well as by the FE-method. A major drawback of the difference method, in which the differential operators are replaced by difference quotients, is that it is conveniently and directly applicable only to rectangular regular lattice discretizations, so that only simple structured geometries can be considered. In contrast, the FE method can be applied to arbitrarily complex geometries.

Classical boundary value problem

To illustrate the mathematical approach underlying the FE method, consider the continuous, n-dimensional (n = 2 or 3), quasi-linear boundary value problem given by the following PDE:

…

Concept of the weak solution

In general, no analytically closed-form solution exists for such problems, so the fundamental domain must be discretized and the classical solution must be numerically approximated. This approximation makes use of the concept of the weak solution. Instead of the PDE, an equivalent variational problem is considered for this purpose, since the solutions phi(x) have certain minimality properties {Bat82, Zie84}. According to the Lax-Milgram theorem, the variational problem associated to the elliptic boundary value problem has a unique solution, weak in this sense {Bra91}.

Finite Element Discretization

The discretization of the continuous weak problem can be done in several ways, e.g., using the finite volume method (FVM) or the FE method.