Modellierung Mikrosysteme

Erschienen in “Mikroelektronik Band 6 – Fachbeilage Mikroperipherik”

Schwerpunktthema: “Modellierung von Komponenten der Mikrosystem­technik”
Ausgabe: Januar / Februar 1992, Heft 1, S. II
Autor: Dipl.-Phys. Thomas Fabula (vollständige Artikelfassung)

 

“Finite-Elemente Modellierung in der Mikromechanik”

 

Präambel

Im Rahmen der Modellierung von mikromechanischen Komponenten nimmt die Methode der Finiten Elemente eine wichtige Rolle bei der Bau­teil­si­mu­lation und ver­mehrt im Bereich der Prozeßsimula­tion ein. Durch zunehmend kom­plexer werdende Strukturgeome­trien, ver­­schieden­artige Materialzusammensetzung und die Notwendigkeit die Einflüsse von ver­schiedenen physikali­schen Größen zu berücksichtigen, wer­den erhöhte Anfor­de­run­gen an den System­entwurf gestellt. Die Lösung die­­ser Aufgaben bedingt den Ein­­satz entsprechender rech­ner­gestütz­ter, numeri­scher Simulations­verfahren.

Finite-Elemente Methode

Die Methode der Finiten Elemente (FE) wird im Bereich der makroskopi­schen Elasto­mechanik seit langem erfolgreich eingesetzt, um das me­chanische Verhalten von Bauteilen zu berechnen. Das Prinzip be­ruht auf einer Unterteilung der Strukturgeometrie in Teilbereiche, aus denen die Ge­samt­struktur durch eine diskrete Ver­netzung ap­proxi­miert wird. Eine Beschreibung der ver­wendeten zwei- bzw. drei­dimen­siona­len Elemente erfolgt durch einen problemangepaßten mathemati­schen Ansatz für die gesuchten physi­ka­lischen Feldvariablen. Die Lösung der resultierenden Matrix­glei­chun­­gen für die ent­spre­chenden Frei­heits­grade erfolgt auf der Ele­ment­­ebene.

Zur Ver­ein­fachung der Berechnungen, sowie zur Ein­sparung von Rechen­zeit und Speicherbe­darf werden weitgehend FE-Modelle mit Schalen- bzw. Platten­ele­men­ten unter Zugrunde­legung iso­­troper Material­eigenschaften und eines linea­ren Bau­teil­verhal­tens ge­wählt. Damit erhält man erste Näherungs­lösungen. Neben der Wahl der FE-Modell­parameter, wie Ele­ment­ansatz, -vernetzung und Rand­bedingungen, kann durch Variation der Geo­metrie- und Material­parameter das Struktur­verhalten studiert und approximiert werden.

Bei der Modellierung mikromecha­nischer Kom­po­nenten stellt die teil­weise ungenaue Kenntnis und der oft schwierige meßtechnische Zugang wichtiger Materialeigenschaften ein erhebliches Problem dar. Neben den rich­tungs­abhängigen Kristall­eigenschaften (Anisotropie) und der Temperatur­abhän­gigkeit der Material­daten, sind prozeß­ab­hängige Effek­te, wie zum Beispiel mechanische Ver­spannungen in Mehr­­schicht­systemen, zu berücksichtigen. Zusätzlich weichen beispielsweise die Elasti­­zitäts­moduln von mikro­technisch hergestellten dünnen Schich­ten erheblich von denen des Bulk-Materials ab.

Die zur Zeit erhältlichen, kommerziellen FE-Pro­gramm­werkzeuge bie­ten nur in Ansätzen die Möglichkeit, die vielfäl­tigen Model­lie­rungs­­­anforderun­gen abzudecken. Im vor­liegenden Bei­trag wer­den einige Anwen­dungen der FE-Methode bei der Modellierung von Kom­po­nenten der Mikro­system­technik unter Berücksichtigung der dabei auf­tretenden Probleme vor­gestellt.

 

Statische FE-Berechnungen

Gegenstand statischer Finite-Elemente Berechnungen ist die Unter­suchung des Strukturverhaltens unter stationären Belastungen, wobei die Art der Belastungen un­ter­schiedlich sein kann. Mecha­nische Lasten können di­rekt durch Kraft- oder Druckbeauf­schla­gung, Be­schleu­ni­gung (z.B. Schock­­be­lastung) oder Rotation (Flieh­kräfte) auf die Mikrostrukturen einwirken. Unter Berücksichti­gung der gül­tigen Sym­metrie- und Randbedin­gungen (Einspannungen) werden die Bauteil­ver­­for­mun­­gen, sowie die auftre­ten­den me­chanischen Spannungen be­rech­net.

Mikromechanische Elemente, wie Mem­branen, Balken- und Pad­del­­­struk­turen, zeigen unterschiedliche, sich überlagernde, nicht­line­are Effekte, die beim Ent­wurf be­rücksichtigt werden müssen. Hierzu bie­ten sich FE-Berechnungen als geeignetes Werk­zeug an, da die Flexi­bilität der Methode auch die Erfassung kleiner Stö­rungen ge­stattet.

Die durch einen anisotropen, naßchemischen Ätzvor­gang hergestell­ten drei­dimen­sionalen Bauteil­strukturen, wie zum Beispiel Mem­branen, wer­den durch die ätzstopp­be­gren­­zenden Kristallebenen fest­ge­legt. Bei <100>-orien­tierten Sili­zium­scheiben (Wafer) legen schräge {111}-Ebenen die Ein­spannungsgeometrie der Bau­teile fest. Die Art der so de­fi­nier­ten Membran­­befesti­gung kann einen wesent­­lichen Ein­fluß auf den Span­nungs­zustand haben, indem sie zu einer Ver­schie­bung der Orte maxi­maler Spannungs­konzen­tration führt. Bei Silizium­mem­branen, die etwa halb so dick wie die Siliziumwafer sind, wan­dern die Spannungs­extrema infolge der flexiblen Einspannung bis zu 3 % der Seitenlänge von der Mem­bran­außenkante nach innen.

Als weiterer Effekt treten geometrische Nicht­linearitäten auf. Da­run­ter versteht man eine last­ab­hängige Span­nungs­ver­steifung, die bei zunehmender Bauteilbelastung durch die Rück­stell­kräfte ver­ursacht wird. Abhängig vom Verhältnis der Mem­bran­dicke zur Sei­ten­länge führen diese bei hoher Druckbeauf­schlagung zu einer deut­lich geringeren Membran­aus­lenkung infolge positiver Zug­span­nungen im Membran­innern.

Die Nicht­­linearität der Auslen­kungs-Druck- bzw. Span­nungs-Druck-Kenn­linie beträgt bei hohen Drücken typischerweise einige Pro­zent. Um das Lineari­täts­­ver­halten zu verbessern, müssen große Mem­bran­auslenkungen ver­­hindert werden. Hierzu kann die Mem­bran mit einem struktu­rierten Mittel­teil verstärkt werden (Boss-Membran). Seine Dimensio­nierung wird mit Hilfe drei­dimen­sionaler FE-Berechnungen opti­miert.

Die Berech­nung des nicht­linearen Modell­ver­hal­tens bedingt eine ite­ra­tive Vorgehensweise, bei denen die Bau­teilbela­stung suk­zessive er­höht und die Bauteil­steifigkeit ent­spre­chend dem Belastungs­zu­stand kor­ri­giert werden muß.

 

Dynamische FE-Berechnungen

Dynamische Finite-Elemente Berechnungen ermöglichen die Ermitt­lung der Eigen­frequenzen und der zugehörigen Eigenschwin­gungs­formen (Mo­dal­­analyse) von mikromechanischen Strukturen. Unter Einwirkung zeit­­­abhängiger Belastun­gen, die periodisch oder impulsartig sein können, kann das zeitliche Strukturverhalten berechnet werden.

Bei der Modalanalyse können aufgrund der ver­schiede­nen Struktur­geo­me­trien und der spezifischen Resonator­cha­rak­teristika, wie Mate­rial­­eigen­schaften und Randbedin­gungen, unter­schied­liche Schwin­gungs­­formen entstehen. Während bei Silizium­mem­branen nur Biege­schwingun­gen und deren Oberwellen auftreten können, sind bei Quarz­mem­branen aufgrund der Kristall­struktur auch über­lager­te, komplexe Schwin­gungsformen (z.B. Dicken­scher­schwin­gun­gen) möglich. Im Fall von Balkenresonatoren können bei beiden Materialien neben den Bie­ge­­schwingungen auch Längs- und Torsions­schwingungen, sowie Über­lagerungen dieser Schwin­gungs­formen auftreten.

Generell nimmt mit höherer Ordnung der Moden die Anzahl der Knoten und die Wahr­scheinlich­keit für überlagerte Schwingungsformen zu. Die Er­mitt­­lung beispielsweise der Biegeresonanz­frequenzen von Kraft­sensoren auf der Basis von Quarz-Doppelstimmgabeln ist be­reits mit ein­fa­chen, zwei­dimen­sio­nalen FE-Modellansätzen möglich. Abwei­chungen zu experi­mentell gemessenen Werten betragen hier weniger als 2%.

Die Modellierung kom­plexer Schwin­gungsformen setzt aller­dings eine drei­dimensionale Formulierung, unter Be­rücksichti­gung des aniso­tropen Materialverhal­tens voraus. Als Beispiel hierfür ist in Bild 1 ein typisches Mo­denspek­trum einer Quarz-Doppelstimm­gabel dargestellt. Im unteren Frequenzbereich domi­nieren unter­schiedliche Biege­schwingungen (y-, z-Richtung), während mit steigender Frequenz die Torsions- und über­lagerten xyz-Schwin­gungs­zustände zunehmen.

Weiterhin kann man mit Hilfe dieser dreidimensionalen Formulierung die Einflüsse von Material- und Geometrieeffekten studieren. So führt beispielsweise der Unter­schied zwischen isotro­pem und an­iso­tropem Materialansatz bei Si­li­ziummem­branen zu einer Abwei­chung von etwa 3 % für die Eigen­frequenzen der Grundbiege­schwingun­gen. Ein wei­terer Effekt tritt durch die schräge Randein­spannung bei Mem­branen und Balkenreso­natoren aus Silizium auf, die eine Er­niedri­gung der Reso­nanz­frequen­zen infolge ver­minderter Ein­span­nungs­stei­fig­keit bewirkt, die von etwa gleicher Größen­ordnung ist.

Über die Bestimmung der Eigen­frequenzen und -schwin­gungs­formen hin­aus, ist vor allem die Verschiebung der Resonanzfrequenz in Ab­hän­gigkeit von der Änderung der sie bestimmenden Parameter von Inter­esse. Dieser Effekt kann zur Bestimmung eines physikalischen Para­me­­ters genutzt werden und stellt das Funktionsprinzip fre­quenz­­ana­lo­ger Sensoren dar. Die Resonanzfrequenzänderung kann beispiels­weise durch eine Massen­anlagerung oder durch eine Änderung der me­chanischen Ver­­spannung im Resonator hervorgerufen werden, die durch eine di­rekte Kraftein­wirkung oder durch Temperatureinfluß ent­­­steht.

Die Berech­nung der Kraft-Frequenz-Kennlinie (Kraft­em­pfind­­lichkeit) und der Tempe­ratur­empfindlichkeit erfolgt durch eine nicht­lineare, statische FE-Rechnung, mit welcher die durch die Meß­größe her­vor­ge­rufene Steifigkeits­ände­rung des Gesamt­systems bestimmt wird. Diese kann dann zur Ermitt­lung der Eigen­fre­quenzen des vor­gespann­ten Systems he­r­an­ge­zogen werden.

Darüberhinaus kann die lastabhängigen Frequenz-Kraft-Kennlinien für Silizium­kraft­sensor bei unter­schiedlichen Resonatorabmessungen berechnet werden. Die Er­hö­hung der Kraftempfindlichkeit ist mit einer Zunahme der Nicht­­line­ari­tät der Kraft-Frequenz-Kennlinie verbunden, so daß durch eine ge­eignete Re­so­nator­dimensio­nie­rung der Ar­beits­punkt des Sensors geeignet eingestellt werden kann. Der tempera­tur­ab­hängige Resonanzfrequenzver­lauf kann mit Hilfe nichtlinearer, dynamischer FE-Berechnungen für beliebige Kristallorientierungen (z.B. bei Quarz-Schwingern), unter Berück­sich­tigung der temperatur­ab­hän­gigen, anisotropen Mate­rialeigen­schaf­ten, ermittelt werden.

Ein wei­terer Gesichtspunkt bei der Auslegung der oben beschriebenen frequenzanalogen Sensoren ist die Wahl der günstigsten Resona­tor­halterung, um die Struktur­dämp­fung des Schwin­gers möglichst gering zu halten. In Ab­hängig­keit von der Struk­tu­rie­rung der Re­sonator­be­festi­gung kann eine ge­eig­nete Schwingungs­ent­kopplung er­reicht wer­den, die zu einer er­höhten Schwin­­gungsgüte und einer ver­bes­serten Mo­den­­selek­tion (Uni­modali­tät) des Resonator­systems führt.

Mit Hilfe der Frequenz­gang­analyse wird das Amplitudenspektrum der Eigen­schwin­­gun­gen unter Einbeziehung von Dämpfungseffekten für eine zeit­­­ab­hängige Struk­tur­anregung berechnet. Ein generelles Problem stellt allerdings die genaue Kenntnis der ein­zel­nen Dämpfungs- und effek­tiven Anre­gungsbeiträge dar. Um eine geeignete Modellbildung vor­nehmen zu können, bedarf es daher ex­peri­menteller Messungen zur Charakterisierung der dynamischen Eigen­­­schaften mikromechanischer Komponenten.

 

Gekoppelte Feldberechnungen

Kom­ponenten der Mikrosy­stemtechnik zeigen aufgrund der Mi­ni­a­turi­sierung und des hohen Inte­gra­tionsgrad eine starke Wechsel­wir­kung ver­schiede­ner physika­lischer Einfluß­größen und weisen meist un­erwünschte Quer­em­pfind­­lichkeiten auf. Zudem werden mikro­me­cha­ni­sche Kom­ponen­ten resistiv, ther­misch, elektro­sta­tisch oder piezo­elek­trisch ausgele­sen bzw. ange­regt, so daß die Kopplung ver­schie­dener Fel­der in den FE-Berech­nungen berück­sichtigt werden muß (z.B. Wärmefeld-Struktur, Piezo­elek­tri­zität). Die meisten kommerziell erhältlichen Simulationsprogramme sind nur teil­weise für die Berechnung von gekoppelten Feldproblemen (Multiphysics) geeig­net.

Ein FE-Pro­gramm­system, das die Mög­lichkeit gekoppel­ter Feldbe­rech­nungen für die Mikro­mecha­nik bie­tet, ist das “multi-purpose” Pro­gramm­ ANSYS.

Voraus­setzungen dafür sind das Vorhanden­sein ad­äquater physi­ka­li­scher Modellansätze, sowie numeri­scher, nicht­linearer Lösungs­ver­fahren. Die sogenannten Multi-Field-Ele­mente von ANSYS enthalten mehre­re Freiheits­grade für die unter­schiedli­chen Felder (Ver­schie­bungen, Temperatur, elek­trisches Po­ten­tial und skalares Magnetpo­tential). Die Berech­nung der gekoppel­ten Feld­probleme er­folgt ite­ra­tiv oder durch die Berücksichtigung einer Wechselwirkung direkt auf der Element­ebene, die die Kopplung beschreibt.

So kann bei mikrotechnischen Herstellungs­prozeßen, bei denen wärme­in­du­zierte Ver­spannungen ent­stehen (Ofenprozesse, Lasermaterial­be­ar­bei­tung, Bon­dprozesse), die FE-Methode zur Prozeß­si­mula­tion ein­gesetzt werden. Im Gegensatz zu reinen Temperatur­feld­berech­nungen, bei denen die Temperatur­ver­teilung unter Vorgabe der An­fangs- und Rand­bedin­gungen, sowie der einwirkenden Wärmelasten er­mittelt wird, ist es bei den gekoppelten Berech­nungen möglich, die mechanischen Ver­spannungen in Multilay­er-Schichten, hervor­gerufen durch unter­schied­liche ther­mische Ausdehnungskoeffizienten und Tem­peratur­abhängigkeit der Elastizitätsmoduln, zu bestimmen. Die Kopp­lung zwischen dem Wärme­feld und der Struktur erfolgt zwischen den Ver­­schiebungs­freiheits­graden der drei Raumrichtun­gen und der Tem­pe­ra­­tur.

Die Modellierung des piezoelektrischen Effektes, der Wechsel­wirkung zwischen den räumlichen Verschiebungen und dem elektrischen Feld, erfolgt durch eine Kopplung di­rekt auf der Element­ebene. Der implementierte Ansatz erlaubt es das sta­tische und dynamische Verhalten von linear piezoelektrischen Medien mit anisotropen Mate­rial­eigenschaften zu untersuchen. Insbesondere kann die dielek­tri­sche Dämpfung durch einen komplexen Dielek­tri­zi­täts­tensor berück­sichtigt werden.

So lassen sich beispielsweise mikro­mecha­ni­sche Resonato­ren, die durch piezo­elek­trische Dünn­schichten angeregt wer­den, und piezo­ke­ramisch an­gesteu­erte Kom­ponenten der Aktorik model­lieren. Im Gegen­satz zu einer mechani­schen Anregung er­folgt die­se direkt durch die elek­tri­schen Feldgrößen, so daß un­ter Berück­sich­tigung der elektro­mecha­nischen Wandlung das me­cha­ni­sche Struk­tur­verhalten berechnet und ver­schie­dene elek­trische Kenn­größen ab­geleitet werden können. Als Beispiel ist in Bild 2 der fre­quenz­abhängige Impedanz­verlauf einer Siliziummembran darge­stellt, die durch eine hybrid auf­gekleb­te Piezo­keramik dynamisch angesteuert wird.

 

Zusammenfassung

Der Entwurf, die Simulation und die Optimierung von Komponenten der Mikro­system­technik ist nur durch eine gleichzeitige Berücksichti­gung ver­schiedener Problemfel­der möglich. Beispielsweise kann eine Optimie­rung mikromechanischer Resonato­ren nur erreicht werden, wenn die statischen und dynami­schen Eigen­schaften gleich­zeitig betrach­tet, und der Einfluß der Anregung und Abtastung (Elektronik) berücksichtigt wird.

Ziel zukünftiger Arbeiten ist daher die Entwicklung von an­ge­paßten FE-Simula­tions­modellen unter Einbeziehung der mikrotechni­schen Anfor­derungen. Darüber hinaus sind zur Verbesserung der beschriebe­nen Modelle experimentelle Untersuchungen, beispielsweise an Test­strukturen erforderlich.

 

Literatur

Mikromechanik: Einführung in Technologie und Anwendungen

• Autor: Prof. Dr.rer.nat. Stephanus Büttgenbach
• Taschenbuch: 244 Seiten
• Verlag: Teubner Verlag, Stuttgart
• Auflage: Nr. 1 (1991)
• Sprache: Deutsch
• ISBN-10: 3519130718
• ISBN-13: 978-3519130710

 

Mikromechanik

“Die Mikromechanik befaßt sich mit Entwurf, Herstellung und Anwendung dreidimensionaler mechanischer Strukturen und Systeme, deren Abmessungen in mindestens einer Dimension so klein sind, daß feinmechanische Formgebungsverfahren nicht mehr sinnvoll eingesetzt werden können. Statt dessen nutzt die Mikromechanik Methoden und Materialien der Halbleitertechnologie, die sich ganz allgemein zur Erzeugung von Strukturen im Mikrometerbereich eignen.” ~ Stephanus Büttgenbach

 

Englische Fassung

Microsystems modeling