Dynamische FEM-Rechnungen

resonanter Quarz-Kraftsensoren

BMFT-Projekt Statusbesprechung

Zentrale Forschung ZWD

17. Januar 1990

Frequenz-analoge Quarz-Sensoren

Piezoelektrischer Quarz-Kristall als resonanter Sensor für mechanische Größen mit frequenz-analogem Ausgangssignal: das ausgegebene Frequenzsignal ist direkt proportional zur einwirkenden Messgröße (z.B. Kraft, Druck, Beschleunigung) und reduziert damit den Aufwand für die Elektronik-Schaltung erheblich.

Quarz-Kristall

FEM-Modellierung

Die Modellierung der Eigenschaften der zu entwickelnden frequenzanalogen Sensoren soll mit Hilfe der Finite-Elemente Methode erfolgen. Hierzu wurde das kommerzielle FEM-Programmpaket ANSYS ausgewählt, das es gestattet neben statischen und dynamischen Strukturberechnungen auch die Kopplung verschiedener Felder (Piezoelektrizität, Wärme-Struktur, Elektro-Magnetismus) mit zu berücksichtigen.

Zur Einarbeitung in das Programm einerseits und zum Kennenlernen der Methode der Finiten Elemente andererseits, wurde ein bereits bekanntes Problem ausgewählt, so dass eine Verifikation der Ergebnisse möglich war. Es handelt sich hierbei um den kommerziell erhältlichen Quarz-Kraftsensor der Fa. ETA-ASULAB S.A. in Grenchen/CH auf der Basis einer Doppelstimmgabel. Neben den Sensorspezifikationen des Herstellers standen die Ergebnisse eigener Messungen, die bei der Fa. BIZERBA durchgeführt wurden zur Verfügung. Es wurden verschiedene FEM-Berechnungen durchgeführt und die Ergebnisse mit den theoretischen und experimentellen Angaben verglichen.

Modalanalyse und Eigenfrequenzen

Ziel war es im ersten Schritt mit Hilfe dynamischer Rechnungen (Modalanalyse) die Eigenfrequenzen und Eigenschwingungsformen des Kraftsensors zu berechnen. Im zweiten Schritt sollte die Kraft-Frequenz-Kennlinie (Kraftempfindlichkeit) des Sensors verifiziert werden. Hierzu wurden verschieden komplexe FE-Modelle erstellt, in denen die Elementvernetzung, die Randbedingungen (Einspannung) und die Materialparameter variiert wurden, um den Einfluss der Modellparameter zu studieren. Zur Vereinfachung der Rechnungen und Einsparung von Rechenzeit, wurde ein zweidimensionales Modell mit isotropen Materialverhalten gewählt.

Abhängig von der Geometrie des Kraftsensors, einer Doppelstimmgabel (DETF: double-ended tuning fork) mit (DETF4) bzw. ohne Verstärkungsstege (DETF2), ergaben sich wie erwartet verschiedene Eigenschwingungsformen. Im Eigenschwingungsmode, in dem die Doppelstimmgabel als Kraftsensor betrieben wird, schwingen die Stimmgabelstege gegeneinander, so dass keine Momente auf die Befestigungen übertragen werden. Dieses entspricht dem 2. Eigenmode bzw. dem 4. Eigenmode der jeweiligen Stimmgabelgeometrie (DETF2 bzw. DETF4).

Farbig sind die Verschiebungen der Stimmgabeln in vertikaler Richtung UY dargestellt. In der 5. Eigenschwingungsform der DETF2-Stimmgabel, sind die Verschiebungen in horizontaler Richtung UX dargestellt. Man sieht hier deutlich, wie bei höheren Schwingungsmoden zunehmend Momente auf die Stimmgabelbefestigungen übertragen werden, was zu einer erhöhten Dämpfung dieser Schwingungsmoden führt.

Kraftsensor

Bei der Ermittlung der Eigenfrequenzen des Kraftsensors konnte trotz der Einfachheit des FE-Modells eine gute Übereinstimmung mit den veröffentlichten (ETA-ASULAB S.A.) und den gemessenen Werten (Fa. BIZERBA) erzielt werden. Die Eigenfrequenz des zweiten Schwingungsmodes EF2 betrug bei der DETF2-Stimmgabelgeometrie 47,9 kHz (siehe Tabelle), was einer Abweichung von ca. 2 % entspricht. Mit zunehmender Verfeinerung des Elementnetzes (Reduzierung der Elementgröße, Verwendung von Elementen mit mehreren Knoten) konvergieren die Eigenfrequenzen wie erwartet gegen die “wahren” Werte.

Die experimentelle Bestimmung der Eigenfrequenz EF2 der Quarz-Doppelstimmgabel ergab folgende Frequenzwerte:

46,786 kHz : UNVERDROSS-Technik (2,3 %)
47,025 kHz : Messungen bei BIZERBA (1,8 %)
46,786 kHz : Veröffentlichung ETA -ASULAB (1,0 %)

Modenspektrum

Modenspektrum eine Quarz-Doppelstimmgabel gemäß dynamischer FEM-Berechnung

Kraftempfindlichkeit

Bei der Berechnung der Kraft-Frequenz-Kennlinie wurde der Sensor gemäß seiner Spezifikation (max. 10 N) mit einer Zugkraft in x-Richtung beaufschlagt. Die FEM-Rechnungen wurden in Schrittweiten von 1 N durchgeführt. Die Spannungszustände im Sensor wurden für die maximale Belastung von 10 N berechnet. Die Spannungen SX in x-Richtung sind entlang der beiden Stimmgabelstege maximal, die in y-Richtung SY sind an den Stelle der linken und rechten Befestigungen. Die Spannungswerte sind in N/mm² angegeben. Die Verschiebungen in x- bzw. y-Richtung (UX bzw. UY) infolge der Krafteinwirkung betragen ca. 2 μm bzw. 0,12 μm.

Der lineare Verlauf der Eigenfrequenzerhöhung konnte gezeigt werden. Abhängig von der Wahl des FE-Modells (Anzahl der Knoten und Elemente, Art der Krafteinleitung) konnte die Kraftempfindlichkeit zu 0,178 – 0,18 % / N berechnet werden. Die Messungen bzw. theoretischen Werte ergaben hier 0,142 bzw. 0,137 % / N.

Kraft-Frequenz-Charakteristik

FEM : 0,178 – 0,18 % / N
BIZERBA : 0,142 % / N
ETA-ASULAB : 0,137 % / N

Die durchgeführten FEM-Berechnungen zeigen, dass der Kraftsensor unter den stark vereinfachten Annahmen qualitativ gut beschrieben wird und die Methode der Finiten-Elemente hierzu gut geeignet erscheint. Sollen die Eigenschaften des Sensors jedoch quantitativ erfasst werden, so ist ein entsprechend größerer Modellieraufwand zu betreiben. Dieses soll Gegenstand der zukünftigen Arbeiten im Verbundprojekt sein.

Zusammenfassung der Ergebnisse

Unter den vereinfachten Annahmen, d.h. 2D-Berechnung, isotropes und nicht piezoelektrisches Materialverhalten, konnte eine recht gute Übereinstimmung der Eigenfrequenzen mit den experimentellen Frequenzwerten (ETA-Sensor, DETF2) erzielt werden:

Die Genauigkeit der FEM-Berechnungen hängt wie erwartet von der Anzahl der Elemente (und Knoten) bzw. berücksichtigter Freiheitsgrade (MDoF: Master Degrees of Freedom) ab, wobei generell ein Kompromiss zwischen Rechenzeit und Genauigkeit getroffen werden muss.

Zukünftige Arbeiten

Verfeinerung der FE-Modelle, u.a. 3D-Modellierung, Berücksichtigung der Material-Anisotropie, Verwendung piezoelektrischer Elemente
Variieren der Geometrieverhältnisse und Untersuchung verschiedener Quarzschwinger-Typen
Modellierung frequenzanaloger Kraftsensoren auf Silizium-Basis mit piezoelektrischer Anregung durch ZnO-Dünnschichten
Optimierung von Strukturgeometrie und Elektrodenformen der Silizium-Schwinger
Einsatz leistungsfähigerer Rechner (UNIX-Workstation) und erhöhter Wavefront (bis 5000) des FEM-Solvers (Gleichungslöser)

Struktur von Zinkoxid (Quelle: de.wikipedia.org/wiki/Zinkoxid# /media/ Datei: Wurtzite_polyhedra.png)

Verbundpartner im Forschungsprojekt

www.bosch.de

Dynamic FEM calculations

of resonant quartz force sensors

Frequency-analog quartz sensors

Piezoelectric quartz crystal as resonant sensor for mechanical quantities with frequency-analog output signal: the output frequency signal is directly proportional to the acting measurand (e.g. force, pressure, acceleration).

FEM modeling

The modeling of the properties of the frequency-analog sensors to be developed is to be carried out with the help of the finite element method (FEM). For this purpose, the commercial FEM program package ANSYS was selected, which allows not only static and dynamic structure calculations but also the coupling of different fields (piezoelectricity, thermal structure, electro-magnetism) to be taken into account.

To familiarize with the program on the one hand and to get to know the finite element method on the other hand, an already known problem was selected so that a verification of the results was possible. This was the commercially available quartz force sensor from ETA-ASULAB S.A. in Grenchen/CH based on a double tuning fork. In addition to the sensor specifications of the manufacturer, the results of own measurements carried out at BIZERBA were available. Various FEM calculations were performed and the results compared with the theoretical and experimental data.

Modal analysis and natural frequencies

In the first step, the aim was to calculate the natural frequencies and natural modes of vibration of the force sensor using dynamic calculations (modal analysis). In the second step, the force-frequency characteristic (force sensitivity) of the sensor was to be verified. For this purpose, various complex FE models were created in which the element meshing, the boundary conditions (clamping) and the material parameters were varied in order to study the influence of the model parameters. To simplify the calculations and save computational time, a two-dimensional model with isotropic material behavior was chosen.

Depending on the geometry of the force sensor, a double-ended tuning fork with (DETF4) or without reinforcing bars (DETF2), different natural modes of vibration were obtained as expected. In the natural mode, in which the double-ended tuning fork is operated as a force sensor, the tuning fork webs vibrate against each other, so that no moments are transmitted to the mountings. This corresponds to the 2nd eigenmode or the 4th eigenmode of the respective tuning fork geometry (DETF2 or DETF4).

The displacements of the tuning forks in vertical direction UY are shown in color. In the 5th eigenmode of the DETF2 tuning fork, the displacements in horizontal direction UX are shown. It can be clearly seen here how moments are increasingly transferred to the tuning fork mountings at higher vibration modes, which leads to increased damping of these vibration modes.

Force sensor

When determining the natural frequencies of the force sensor, a good agreement with the published (ETA-ASULAB S.A.) and the measured values (Fa. BIZERBA) could be achieved despite the simplicity of the FE model. The natural frequency of the second vibration mode was 47.9 kHz for the DETF2 tuning fork geometry, which corresponds to a deviation of about 2 %. With increasing refinement of the element mesh (reduction of element size, use of elements with multiple nodes), the natural frequencies converge towards the true values as expected.

Force sensitivity

In the calculation of the force-frequency characteristic, the sensor was subjected to a tensile force in the x-direction according to its specification (max. 10 N). The calculations were performed in increments of 1 N. The stress states in the sensor were calculated for the maximum load of 10 N. The stresses SX in the x-direction are maximum along the two tuning fork webs, those in the y-direction SY are at the location of the left and right fasteners. The stress values are given in N/mm². The displacements in the x- and y-directions (UX and UY, respectively) due to the application of force are approximately 2 μm and 0.12 μm, respectively.

The linear progression of the natural frequency increase could be shown. Depending on the choice of the FE model (number of nodes and elements, type of force application), the force sensitivity could be calculated to be 0.178 – 0.18 %/N. The measurements and theoretical values yielded 0.142 and 0.137 %/N, respectively.

The calculations carried out show that the force sensor is described qualitatively well under the highly simplified assumptions and that the finite element method appears to be well suited for this purpose. However, if the properties of the sensor are to be recorded quantitatively, a correspondingly greater modeling effort is required. This will be the subject of future work.

Future work

Refinement of FE models, including 3D modeling, consideration of material anisotropy, use of piezoelectric elements
Varying the geometry ratios and investigating different types of quartz transducers
Modeling of frequency analog silicon-based force sensors with piezoelectric excitation through ZnO thin films
Optimization of structural geometry and electrode shapes of silicon transducers

GitHub repository

Link: github.com/ThomasFabula/Quartz-DETF

Research project partner